来自人教群的$AG\perp BG$求值
[quote]渝X教师多多(2859*****) 17:11:29[attach]2417[/attach]
如何处理？
[/quote]
题目：已知 $G$ 点为 $\triangle ABC$ 的重心，且 $\vv{AG}\perp\vv{BG}$，若 $1/\tan A+1/\tan B=2\lambda/\tan C$，则实数 $\lambda$ 的值为[选项略]
\begin{align*}
0&=3\vv{AG}\cdot3\vv{BG} \\
& =\bigl(\vv{AB}+\vv{AC}\bigr)\cdot\bigl(\vv{BA}+\vv{BC}\bigr) \\
& =-\vv{AB}^2+\vv{AB}\cdot\bigl(\vv{BC}-\vv{AC}\bigr)+\vv{AC}\cdot\vv{BC} \\
& =-2AB^2+\frac{AC^2+BC^2-\bigl(\vv{AC}-\vv{BC}\bigr)^2}2 \\
& =\frac{a^2+b^2-5c^2}2,
\end{align*}
得到
\[a^2+b^2=5c^2,\]
故
\begin{align*}
\lambda &=\frac{\tan C}2\left( \frac1{\tan A}+\frac1{\tan B} \right) \\
& =\frac{\sin C}{2\cos C}\cdot \frac{\cos A\sin B+\cos B\sin A}{\sin A\sin B} \\
& =\frac{\sin ^2C}{2\cos C\sin A\sin B} \\
& =\frac{c^2}{2ab\cos C} \\
& =\frac{c^2}{a^2+b^2-c^2} \\
& =\frac14.
\end{align*} 这个贴的题有点类似 [url]http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=159[/url] 差点忘了记录群里后来聊天记录中的解法。
[quote]鄂L教师yuzi(5755*****) 18:08:31
[attach]2431[/attach]
[/quote] 刚才提问人又再一次在群里问……唉，不过还好，这次群里还给了出处。
[quote]津A教师Mike(3061*****) 16:30:32
[attach]2432[/attach]
[/quote]
过程其实跟我的一样，不过省略了一些计算过程 这里好像也有？[url]http://blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101epje.html[/url]
[img]http://s13.sinaimg.cn/mw600/0018zOAxgy6Jd7tJc60ec&690[/img] [quote]差点忘了记录群里后来聊天记录中的解法。
[size=2][color=#999999]kuing 发表于 2015-1-18 16:34[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=13124&ptid=3272][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
还可以用解析法，设A(-1,0)，B(1,0)，G(cosθ,sinθ)，则C(3cosθ,3sinθ)，用斜率公式和到角公式表示tanA、tanB、tanC，运算稍微麻烦些。 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=13130&ptid=3272]5#[/url] [i]其妙[/i] [/b]
果然题还是要自己写才会有更特别的感觉。。。。今天碰到了。。。 [quote]回复 其妙
果然题还是要自己写才会有更特别的感觉。。。。今天碰到了。。。 ...
[size=2][color=#999999]isee 发表于 2019-1-27 12:56[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=29601&ptid=3272][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
四年前的帖子了，你又翻出来{:lol:}，
看了下博客里发表的时间是2013-08-26 18:54:17
页:
[1]