一个整除问题
[attach]1957[/attach](代码还是不会写,只能传图片了) ……这代码有多难写啊?上标就是 ^
属于就是 \in
于是这样写就行了:
已知 \$x,y \in N^+\$,且 \$x^2+y^2-x\$ 能被 \$2xy\$ 整除,求证:\$x\$ 为完全平方数。 [i=s] 本帖最后由 tommywong 于 2018-4-11 18:20 编辑 [/i]
$x^2+y^2-x \equiv 0 (mod 2xy)$
$x^2+y^2-x \equiv 0 (mod xy)$
$y^2 \equiv 0 (mod x)$
假设$x$不是平方数,[color=Red]则$y$必含因子$x$(←错)[/color],设$y=kx$
$x^2+k^2x^2-x \equiv 0 (mod kx^2)$
$-x \equiv 0 (mod x^2)$不成立,与假设矛盾 [quote]$x^2+y^2-x \equiv 0 (\mod{\kern4pt} 2xy)$
$x^2+y^2-x \equiv 0 (\mod{\kern4pt} xy)$
$y^2 \equiv 0 (\mod{\kern4pt} x)$
假设$x$不是平 ...
[size=2][color=#999999]tommywong 发表于 2014-7-10 11:31[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=10646&ptid=2899][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]这样写效果怎样? [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=10648&ptid=2899]4#[/url] [i]其妙[/i] [/b]
x^2+y^2-x \equiv 0 \pmod{2xy} gives $x^2+y^2-x \equiv 0 \pmod{2xy}$ [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=10650&ptid=2899]5#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
[img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/1309021710794c38421e99e1dc.gif[/img] 马 3楼错了,重新来过
$2xy|x^2+y^2-x$
$x=\prod_i p_i^{2k_i}\prod_j p_j^{2k_j+1},(p_i,p_j)=1$
需证$\forall j,p_j=1$,使得$x=\prod_i p_i^{2k_i}=(\prod_i p_i^{k_i})^2$为平方数
$x|y^2\Rightarrow p_j^{2k_j+1}|y^2\Rightarrow p_j^{k_j+1}|y$
$p_i^{2k_i}|y^2\Rightarrow p_i^{k_i}|y$
设$y=q\prod_i p_i^{k_i}\prod_j p_j^{k_j+1}$
$2y|x+q^2\prod_j p_j-1$
$\forall j,p_j|1\Rightarrow p_j=1$ 以下字母都是正整数
设(x,y)=m,那么x=ma,y=mb,(a,b)=1
问题即为$2m^2ab\mid m^2a^2+m^2b^2-ma$
即$2mab\mid ma^2+mb^2-a$,得出$a\mid m$,$m\mid a$
得到m=a
所以$x=a^2$,又x=1,y=2说明有解.
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