来自人教群昨晚的“椭圆运动”
[quote]教师——颉忞(2706*****) 19:22:22物体做椭圆运动的受力是指向2焦点吗？
有清楚这个问题的，请指点
教师樰椛(4160****) 19:23:46
你指的是行星吗？
教师——颉忞(2706*****) 19:24:02
是的
爱好者-Tesla35(3705*****) 19:24:02
那要看焦点有没有物体吧
教师-渔舟(2571****) 19:24:15
这似乎是个物理题
教师——颉忞(2706*****) 19:24:18
有
是啊
爱好者-Tesla35(3705*****) 19:24:24
是因为恒星吸引他
教师——颉忞(2706*****) 19:24:32
和同事讨论到了这个问题
教师-渔舟(2571****) 19:24:42
我记得是因为万有引力啊
教师——颉忞(2706*****) 19:25:06
哦 若仅有一个焦点有物体，还是椭圆运动吗？
……
[/quote]
昨晚聊这段的时候我在煮饭，回来才看到。
留意到这句“若仅有一个焦点有物体，还是椭圆运动吗？”
话说难道他认为行星做椭圆运动是因为椭圆两焦点都有星体吸引它？只有一个焦点有物体反而就不一定了？
好吧，我又无聊，推导一下好了呗。
[attach]489[/attach]
如图所示，有两星体，质量分别为 $m$, $M$，$m\ll M$ 且不考虑其他星球对他们的影响（这样 $M$ 可以看作是固定的），某一刻，$m$ 与 $M$ 的距离为 $mM=r_0$，$m$ 的速度大小为 $v_0$，且速度方向与垂直于 $mM$ 的方向成 $\alpha$ 角。设经过一段时间后，$m$ 到达 $m'$ 的位置，速度大小变为 $v$，且对 $M$ 的角速度为 $\omega$，$m'M=r$，$\angle m'Mm=\theta$。
设 $r$ 关于 $\theta$ 的函数为 $r=r(\theta)$，记 $r'=\rmd r/\rmd\theta$，则有
\[v=\frac{\sqrt{(\rmd r)^2+(r\rmd\theta)^2}}{\rmd t}=\frac{\rmd\theta}{\rmd t}\sqrt{\left( \frac{\rmd r}{\rmd\theta} \right)^2+r^2}=\omega \sqrt{r'^2+r^2},\]
即
\[v^2=\omega^2(r'^2+r^2),\]
由角动量守恒，有
\[mr^2\omega=mv_0r_0\cos\alpha,\]
由机械能守恒，有
\[\frac12mv^2-\frac{GMm}r=\frac12mv_0^2-\frac{GMm}{r_0},\]
以上三式消去 $v$ 和 $\omega$ 得到
\[\frac12m\left( \frac{v_0r_0\cos\alpha}{r^2} \right)^2(r'^2+r^2)-\frac{GMm}r=\frac12mv_0^2-\frac{GMm}{r_0},\]
化简整理得
\[r'^2=\frac{v_0^2r_0-2GM}{r_0(v_0r_0\cos\alpha)^2}r^4 +\frac{2GM}{(v_0r_0\cos\alpha)^2}r^3-r^2,\]
记 $p=\frac{v_0^2r_0-2GM}{r_0(v_0r_0\cos\alpha)^2}$, $q=\frac{2GM}{(v_0r_0\cos\alpha)^2}$，若 $r$ 正在递增，则上式开方得
\[\frac{\rmd r}{\rmd\theta}=r'=r\sqrt{pr^2+qr-1},\]
即
\[\rmd\theta=\frac1{r\sqrt{pr^2+qr-1}}\rmd r,\]
令 $x=1/r$，上式两边积分得
\begin{align*}
\theta &=\int{\frac1{r\sqrt{pr^2+qr-1}}\rmd r} \\
& =\int{\frac x{\sqrt{p/x^2+q/x-1}}\rmd{\frac1x}} \\
& =-\int{\frac1{\sqrt{p+qx-x^2}}\rmd x} \\
& =-\int{\frac1{\sqrt{p+q^2/4-(x-q/2)^2}}\rmd{\left( x-\frac q2 \right)}} \\
& =-\arcsin \frac{x-q/2}{\sqrt{p+q^2/4}}+C \\
& =-\arcsin \frac{1/r-q/2}{\sqrt{p+q^2/4}}+C,
\end{align*}
故
\[\arcsin \frac{1/r-q/2}{\sqrt{p+q^2/4}}=C-\theta,\]
两边正弦并整理得
\[\frac1r=\sqrt{p+\frac{q^2}4}\sin(C-\theta)+\frac q2,\]
这跟圆锥曲线的极坐标方程一致，$r$ 递减时也类似。
这里的常数 $C$ 可以确定下来，但是懒得写了。 真漂亮。。可惜我目前还看不懂... 牛人！这属于大学物理的范畴吧？[img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/13090217094a68eacd59feaab8.gif[/img] 圆锥曲线极坐标方程
汗，要赶紧练内功去 [i=s] 本帖最后由 战巡 于 2013-10-13 09:10 编辑 [/i]
[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=1674&ptid=287]1#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
这什么玩意.......
题目本身就没看懂，按照我的理解，椭圆运动只是物体沿着椭圆轨道运动而已，至于是什么样的力导致它做这样的运动，其速率如何变化等都无关紧要...
于是，行星轨道只是其中一种，其他情况复杂得多
好吧，如果你们想研究双星系统下的行星轨道，我劝你们别折腾了，典型的三体问题，牛顿、拉格朗日、庞加莱那一大帮人都试过，全挂了，你们自己掂量掂量自己几斤几两... [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=2463&ptid=287]5#[/url] [i]战巡[/i] [/b]
提问人说得不清楚，但是大概也知道他想表达的意思，估计他也不会指太复杂的东西，所以我推导的是最简单的情形，复杂的我也知道我没那能耐…… 精彩。角动量是竞赛（高中）的东西。敢问Kuing大哥看的什么书以至如此博学？ ……博个啥学……物理我就会点皮毛……角动量的东东我是在普通的大学物理教材里学来的…… [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=11100&ptid=287]8#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
[img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/1309021710794c38421e99e1dc.gif[/img],大学普通物理没有选学，
这贴快逢一周年了！
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