大家都来写一些关于 $\ln x$ 的不等式
我先来写两个，今天用到的\begin{align*}
\ln x&\leqslant x-1,\forall x>0,\\
\ln x&\geqslant\frac12\left(x-\frac1x\right),\forall 1\geqslant x>0 \text{（$x>1$ 时反向）},
\end{align*} 和第二个有点类似的
\[\ln x\geqslant 1-\frac1x, \forall x>0,\]
但其实它和第一个等价 为了不食言，也为了凑数，所以重复了上面的一些不等式，甚至是一些等价的不等式，但是在导数压轴题的最后一问数列的放缩的时候可能会用到的不等式：
请检查有无输入错误、推导错误等
1、$\ln(x+1)\leqslant x(x>-1)$
2、$e^x\geqslant x+1(x\in R)$
3、$\ln x\geqslant\dfrac{2(x-1)}{x+1}(x\geqslant1)$
4、$\ln x\leqslant\dfrac{2(x-1)}{x+1}(0<x\leqslant1)$
5、$\ln x\leqslant\dfrac{1}{2}(x-\dfrac1x)(x\geqslant1)$
6、$\ln x\geqslant\dfrac{1}{2}(x-\dfrac1x)(0<x\leqslant1)$
7、$\ln (1+x)\geqslant x-\dfrac{x^2}{2}(x\geqslant0)$ [img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/1309021709bf9f48459392402d.gif[/img]thanks 大家继续啊 [i=s] 本帖最后由 战巡 于 2014-3-26 01:51 编辑 [/i]
[b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=7884&ptid=2517]1#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
泰勒展开式就可以提供很多这方面的东西啊........
\[\ln(1+x)<\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}, -1<x<0\]
\[\ln(1+x)\le \sum_{k=1}^{2n+1}(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}, x\ge 0\]
\[\ln(1+x)\ge \sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}, x\ge 0\] [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=7899&ptid=2517]5#[/url] [i]战巡[/i] [/b]
[img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/1309021709b7e280a8f376bd26.gif[/img]
分式的也整整看 [i=s] 本帖最后由 realnumber 于 2014-3-26 08:20 编辑 [/i]
$y=\ln{x}$在$x=x_0$处的切线，$y=\frac{1}{x_0}(x-x_0)+\ln{x_0}$，则有$\frac{1}{x_0}(x-x_0)+\ln{x_0}\ge \ln{x}$．
即为$\frac{x}{x_0}-1\ge \ln{x}-\ln{x_0}=\ln{\frac{x}{x_0}}$,也即$t-1\ge \ln t,其中t=\frac{x}{x_0}$.
也是由切线得到,$\ln{\ln{x}}\le\frac{x}{e}-1$． [i=s] 本帖最后由 isee 于 2014-3-26 10:49 编辑 [/i]
变式：$\ln x < \dfrac {x-1}{\sqrt x},x>1$ [quote]变式：$\ln x < \dfrac {x-1}{\sqrt x},x>1$
[size=2][color=#999999]isee 发表于 2014-3-26 10:48[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=7906&ptid=2517][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
嗯，这个跟1#第二个等价。曾经在这里用过 [url]http://kkkkuingggg.haotui.com/viewthread.php?tid=760&page=1#pid3991[/url] [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=7894&ptid=2517]3#[/url] [i]其妙[/i] [/b]
这里有关于第5条的一个应用：“对数—几何平均不等式”（海盗）
[url]http://kkkkuingggg.haotui.com/viewthread.php?tid=354[/url]
还有，关于第4条的一个应用（kuing）：
[url]http://kkkkuingggg.haotui.com/thread-314-1-1.html[/url]，[img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/1309021709bf9f48459392402d.gif[/img] [attach]1635[/attach]我今天看到了一个更水的题 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8867&ptid=2517]11#[/url] [i]等待hxh[/i] [/b]
你回错贴了 这里还有些关于$\ln x$的不等式：[url]http://blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101jp07.html[/url](绵阳三诊)
\[\ln t\leqslant\dfrac{t-1}{\sqrt t}{\kern 4pt}(t\geqslant1)\]
若记$\sqrt t=u\geqslant1$，则$2\ln u\leqslant\dfrac{u^2-1}{u}=u-\dfrac{1}{u}$，即：\[\ln u\leqslant\dfrac12(u-\dfrac{1}{u}) {\kern 5pt} (u\geqslant 1)\] 不等式$\ln (1+x)\geqslant x-\dfrac{x^2}{2}(x\geqslant0)$的一个应用（2012天津）：
[url]http://blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101jp07.html[/url]（文末2012天津） {:lol:}thinks, goon [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=8966&ptid=2517]15#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
[img]http://kuing.orzweb.net/attachments/month_1309/13090217093d95ccbc3813ec58.gif[/img] 这里的证明：[url]http://blog.sina.com.cn/s/blog_5618e6650101eu7f.html[/url]
[attach]1682[/attach] $\ln(x)>0$ [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9051&ptid=2517]18#[/url] [i]链剑心[/i] [/b]
不是要解不等式，而是证明不等式！{:shocked:} [i=s] 本帖最后由 realnumber 于 2014-5-4 09:35 编辑 [/i]
模拟卷上一题目．
$f(x)=x\ln x$,0<a<b,求证：$a\ln a+b\ln b<b-a+(a+b)\ln{\frac{a+b}{2}}$．
证明：设$x=\frac{b-a}{2},y=\frac{b+a}{2},y>x>0$，
那么所证明不等式化为
\[(y-x)\ln{(y-x)}+(y+x)\ln{(y+x)}<2x+2y\ln{(y)}\]
利用$\ln(1+t)\le t$，可得$\ln{(y-x)}=\ln (y(1-\frac{x}{y}))<\ln y-\frac{x}{y},\ln{(y+x)}<\ln y+\frac{x}{y}$．以下略． [i=s] 本帖最后由 realnumber 于 2014-5-12 15:21 编辑 [/i]
山西-宋xx
方程$\ln x=mx$有两个不等实数根$x_1,x_2$,求证：$(x_1+1)(x_2+1)> (e+1)^2$
分析：目标是证明$x_1x_2>e^2，1<x_1<e<x_2$,通过代入等式$\frac{\ln x_1}{x_1}=\frac{\ln x_2}{x_2}$,得到如下构造函数．
证明：设$f(x)=x^2(2-\ln x)-e^2\ln x,x\ge e$,$f(e)=0$
\[f'(x)=x(3-2\ln x-\frac{e^2}{x^2}),得f'(e)=0,\]
\[记g(x)=3-2\ln x-\frac{e^2}{x^2},x\ge e,g(e)=0\]
\[g'(x)=-\frac{2}{x}+\frac{2e^2}{x^3}=-\frac{2}{x^3}(x^2-e^2),\]
可见g(x)为减函数，得当$x>e,g(x)<g(e)=0$,即$f'(x)\le 0$
所以当$x>e$时,$f(x)<f(e)=0$,即$x^2(2-\ln x)-e^2\ln x<0,x>e$----(1)
假设$x_1x_2\le e^2,得x_1\le \frac{e^2}{x_2}<e$
由$h(x)=\frac{\ln x}{x},在(0,e)递增，(e,+∞)递减$
\[得到\frac{\ln x_1}{x_1}=\frac{\ln x_2}{x_2}\le \frac{\ln (\frac{e^2}{x_2})}{\frac{e^2}{x_2}}\]
\[即x_2^2(2-\ln x_2)-e^2\ln x_2\ge0,x_2>e与(1)矛盾．\]
即假设错误，因此有$x_1x_2\ge e^2$
那么$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1>e^2+2e+1=(e+1)^2$. [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9267&ptid=2517]21#[/url] [i]realnumber[/i] [/b]
辽宁大连周亚明
[attach]1736[/attach]
我们的二模考试题 [i=s] 本帖最后由 realnumber 于 2014-5-12 17:29 编辑 [/i]
[attach]1737[/attach][attach]1738[/attach][b][attach]1739[/attach][attach]1740[/attach][attach]1741[/attach] 这里也有应用：[url]http://blog.sina.com.cn/s/blog_c2c533c30101hqm6.html[/url]
另外，作为资料，提一下本贴起源于这个帖子11-14楼：[url]http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=2515&extra=page%3D1%26amp%3Bfilter%3Dtype%26amp%3Btypeid%3D3&page=2[/url] [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=9352&ptid=2517]24#[/url] [i]其妙[/i] [/b]
凑个热闹！
2004全国卷二
[url]http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=339[/url]
用琴生不等式 [attach]2757[/attach] [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=14498&ptid=2517]26#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
啥子群哟，怎么没成司令？ [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=14503&ptid=2517]27#[/url] [i]其妙[/i] [/b]
一个广东教师群，我能有多少话可说，军长已经是我意料之外了…… 不废话，直接开火。
$$\ln x\geq \frac{8(x^3-1)}{3(x+1)^3}(x\geq 1)$$ [quote]不废话，直接开火。
$$\ln x\geq \frac{8(x^3-1)}{3(x+1)^3}(x\geq 1)$$
[size=2][color=#999999]血狼王 发表于 2015-12-27 10:59[/color] [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=16390&ptid=2517][img]http://kuing.orzweb.net/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
设 $f(x)=(1+x)^3\ln x$，当 $x>1$ 时，由泰勒展开有
\[f(x)=8(x-1)+8(x-1)^2+\frac83(x-1)^3+f^{(4)}(\xi)\frac{(x-1)^4}{4!},\]
其中 $\xi \in (1,x)$，不难计算出
\[f^{(4)}(x)=\frac{6(x-1)(x^2+1)}{x^4},\]
从而由 $\xi>1$ 得 $f^{(4)}(\xi)>0$，故
\[f(x)>8(x-1)+8(x-1)^2+\frac83(x-1)^3=\frac83(x^3-1),\]
即
\[\ln x>\frac{8(x^3-1)}{3(x+1)^3},\]
同时我们可以知道 $0<x<1$ 时不等式反向成立。
保留更多的项可以构造出反向式和更强式，只不过数据没这个好看。 [i=s] 本帖最后由 敬畏数学 于 2015-12-28 09:51 编辑 [/i]
话说楼上y=lnx/x的图像是如何画出的？高手顺便解决，当m>1时，若关于x的方程mx=lnx+x有唯一零点，求m的取值范围？ [quote]皖A爱好者兰亭(1036******) 18:27:47
[attach]3623[/attach]
这个不等式怎么证明啊[/quote]
这个比前面29#那个强，不过有了根式 [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=16809&ptid=2517]32#[/url] [i]kuing[/i] [/b]
展开式有
\[\left(\frac x{\ln(x+1)}\right)^2=1+x+\frac{x^2}{12}-\frac{x^4}{240}+\frac{x^5}{240}-\cdots\]
不过计算应该比较复杂，直接求导来玩更容易计算些，令
\[f(x)=\ln(x+1)-\frac x{\sqrt{1+x+\frac{x^2}{12}}},\]
求导后最终可以化为
\[f'(x)=\frac{x^4(x^2+36x+36)}{(x+1)(x^2+12x+12)^{3/2} \bigl((x^2+12x+12)^{3/2}+12\sqrt3(x+1)(x+2)\bigr)},\]
故此…… [i=s] 本帖最后由 isee 于 2020-8-23 22:34 编辑 [/i]
似乎和此楼的关系又不太大，只是说，存在$x>0$，类似于$0.5x^2-x<\ln x <x^2-x<2x^2-x$的不等式链成立。 好久没更新这帖了，刚才无意中在 [url]http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&ptid=6004&pid=30741[/url] 发现一个，记录一下：
当 `x\geqslant1` 时
\[\ln x\geqslant\frac{1-x^2+(x-1)\sqrt{x^2+34x+1}}{4x},\]当 `x\leqslant1` 时反向。
画图看了下应该是比 32# 更强，不过式子又更难看了……
或者这样变形下会好看点
\[\frac{\ln x}{x-1}>\frac{-x-1+\sqrt{x^2+34x+1}}{4x}=\frac8{x+1+\sqrt{x^2+34x+1}},\]上式对 `x\ne1` 成立。
也可以写成对数平均的形式，就是
\[\frac{a-b}{\ln a-\ln b}<\frac{a+b+\sqrt{a^2+34ab+b^2}}8,\]嗯，这样看起来还好些，不过变成这样之后，感觉这是个旧东西了……
======================
嗯，应该是没什么用了，好像还没这个强：
\[\frac{a-b}{\ln a-\ln b}<\frac{a+b+4\sqrt{ab}}6.\] [code]lst=Table[PadeApproximant[Log[x],{x,1,{m,n}}]//Factor,{n,0,4},{m,1,4}];
lst//TraditionalForm[/code]\[
\begin{array}{cccc}
x-1 & -\frac{1}{2} (x-3) (x-1) & \frac{1}{6} (x-1) \left(2 x^2-7 x+11\right) & -\frac{1}{12} (x-1) \left(3 x^3-13 x^2+23 x-25\right) \\
\frac{2 (x-1)}{x+1} & \frac{(x-1) (x+5)}{2 (2 x+1)} & -\frac{(x-1) \left(x^2-8 x-17\right)}{6 (3 x+1)} & \frac{(x-1) (x+1) \left(x^2-8 x+37\right)}{12 (4 x+1)} \\
-\frac{12 (x-1)}{x^2-8 x-5} & \frac{3 (x-1) (x+1)}{x^2+4 x+1} & \frac{(x-1) \left(x^2+19 x+10\right)}{3 \left(3 x^2+6 x+1\right)} & -\frac{(x-1) \left(x^3-15 x^2-123 x-43\right)}{12 \left(6 x^2+8 x+1\right)} \\
\frac{24 (x-1)}{x^3-5 x^2+19 x+9} & -\frac{3 (x-1) (19 x+11)}{(x+2) \left(x^2-26 x-5\right)} & \frac{(x-1) \left(11 x^2+38 x+11\right)}{3 (x+1) \left(x^2+8 x+1\right)} & \frac{(x-1) \left(3 x^3+131 x^2+239 x+47\right)}{12 \left(4 x^3+18 x^2+12 x+1\right)} \\
-\frac{720 (x-1)}{19 x^4-106 x^3+264 x^2-646 x-251} & \frac{90 (x-1) (27 x+11)}{11 x^4-104 x^3+1176 x^2+2056 x+281} & -\frac{10 (x-1) \left(136 x^2+271 x+55\right)}{3 \left(3 x^4-152 x^3-792 x^2-552 x-47\right)} & \frac{5 (x-1) (x+1) \left(5 x^2+32 x+5\right)}{6 \left(x^4+16 x^3+36 x^2+16 x+1\right)}
\end{array}
\][code]Table[Plot[{Log[x],lst[[n,m]]},{x,0,3}],{n,1,5},{m,1,4}][/code][attach]9438[/attach] [b]回复 [url=http://kuing.orzweb.net/redirect.php?goto=findpost&pid=7906&ptid=2517]8#[/url] [i]isee[/i] [/b]
搬运：目前这个精度[url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02056989/document]$\log(1+x)\leq\dfrac{\pi+\frac{4+\pi}{2}\cdot x-2(x+2)\arctan\sqrt{x+1}}{\sqrt{1+x}}$[/url]
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